Sobre la estabilidad de sistemas hamiltonianos con dos grados de libertad bajo resonancias

Resum

La cuestión de la estabilidad de sistemas hamiltonianos es una pieza fundamental en el estudio de algunos problemas de diversas ramas científicas, como por ejemplo, de Mecánica Clásica, Mecánica Celeste, Física Atómica, etc. Además, es un tema de gran interés matemático. No obstante, el problema es difícil de abordar incluso para sistemas de dos grados de libertad donde, a pesar de ser el caso más simple y donde más estudios hay realizados, todavía quedan situaciones especiales sin resolver. Pese a la existencia de numerosos problemas de aplicación y de resultados para algunos casos particulares, hasta 1999 no se enuncia ningún teorema general. En esta fecha, Cabral y Meyer establecen un criterio para resolver la estabilidad de un sistema hamiltoniano de dos grados de libertad en presencia de resonancias que engloba a la mayoría de los resultados clásicos. La principal aportación de esta tesis es la obtención de un teorema que considera hipótesis más débiles que las del teorema de Cabral y Meyer, de modo que lo generaliza y permite resolver la cuestión de la estabilidad en condiciones más generales. Además, damos una interpretación geométrica de este resultado, estableciendo así un criterio geométrico. A partir de este criterio es posible obtener nuevos resultados de estabilidad para algunos casos que el teorema de Cabral y Meyer no resuelve, denominados casos degenerados. El proceso para extraer dichas conclusiones es complicado y exige la utilización de un modelo más sencillo, la forma normal del hamiltoniano. Esto supone aplicar técnicas de normalización que nosotros hemos llevado a cabo con un conjunto determinado de variables, las variables de Lissajous. En este sentido, otra aportación es una caracterización compacta de la forma normal en términos de unas variables, llamadas invariantes, ligadas a las variables de Lissajous.....