Estructuras de Lie y Jordan en superálgebras asociativas con superinvolución

Abstract

SE DESARROLLA EN LA MEMORIA UNA TEORIA DE HERSTEIN (CF, HERSTEIN, RINGS WITH INVOLUTION, CHICAGO UNIV. PRESS, 1976) PARA SUPERALGEBRAS ASOCIATIVAS CON SUPERINVOLUCION, LLEGANDO A LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES. SEA A UNA SUPERALGEBRA ASOCIATIVA SIMPLE NO TRIVIAL UNITAL CON SUPERINVOLUCION * SOBRE UN CUERPO F DE CARACTERISTICA DISTINTA DE 2, Y SEA Z LA PARTE PAR DEL CENTRO DE A. LLAMEMOS H A LA SUPERALGEBRA DE JORDAN DE LOS ELEMENTOS SIMETRICOS DE A CON RESPECTO A * Y K A LA SUPERALGEBRA DE LIE DE LOS ELEMENTOS ANTISIMETRICOS. EN PRIMER LUGAR, LOS RESULTADOS SIGUIENTES RELACIONAN LA SIMPLICIDAD DE A CON LA ESTRUCTURA DE IDEALES DE H, K Y K,K . TEOREMA. H ES UNA SUPERALGEBRA DE JORDAN SIMPLE, SALVO QUE LA PARTE PAR DE A SEA CONMUTATIVA. TEOREMA. SI U ES UN IDEAL DE LIE DE K ENTONCES U Z O U K,K , SALVO QUE A SEA UNA SUPERALGEBRA DE CUATERNIOS SOBRE Z O LA DIMENSION DE A SOBRE Z SEA 16. TEOREMA. SI LA DIMENSION DE A SOBRE Z ES MAYOR QUE 16 Y U ES UN IDEAL DE LIE PROPIO DE K,K ENTONCES U Z. EN PARTICULAR, SI * ES DE PRIMERA CLASE ENTONCES K,K ES UNA SUPERALGEBRA DE LIE SIMPLE. POR OTRA PARTE, EL RESULTADO SIGUIENTE CLASIFICA LOS SUBMODULOS DE LA SUPERALGEBRA A, CONSIDERADA ESTA COMO MODULO DE JORDAN SOBRE H. TEOREMA. SALVO CIERTAS EXCEPCIONES EN BAJA DIMENSION (QUE SE DESCRIBEN COMPLETAMENTE EN LA MEMORIA), LOS UNICOS H-SUBMODULOS DE JORDAN DE A SON 0, H, K Y A, DONDE Z. EN PARTICULAR, K ES UN H-MODULO DE JORDAN SIMPLE. FINALMENTE, SIN NECESIDAD DE SUPONER YA QUE A SEA SIMPLE, SE OBTIENE UN RESULTADO SOBRE EXTENSION DE HOMOMORFISMOS DE JORDAN DE H EN UNA SUPERALGEBRA ASOCIATIVA B A HOMOMORFISMOS ASOCIATIVOS DE A EN B. TEOREMA. SEA UN HOMOMORFISMO DE JORDAN DE H EN UNA SUPERALGEBRA ASOCIATIVA B Y SUPONGAMOS QUE EXISTEN N IDEMPOTENTES SIMETRICOS ORTOGONALES NO NULOS E1,..., EN EN A CUYA SUMA ES 1 Y TALES QUE AEIA = A PARA TODO I = 1,...,N. ENTONCES SE EXTIENDE UNIVOCAMENTE A UN HOMOMORFISMO ASOCIATIVO DE A