Polinomios biortogonales y sus generalizacionesuna perspectiva desde los sistemas integrables

Abstract

La conexión existente entre los polinomios ortogonales y otras ramas de la matemática, la física o la ingeniería es verdaderamente asombrosa. Además, no hay mejor prueba de la utilidad de estos que el propio florecimiento, avance perpetuo y generalización en diversas direcciones de lo que se entendía por polinomio ortogonal en los albores de la teoría. Conforme el concepto se fue generalizando, también fueron evolucionando las técnicas para su estudio, algunas de estas claramente influenciadas por aquellas disciplinas matemáticas con las que iban surgiendo conexiones. La perspectiva que esta tesis adopta frente a los polinomios ortogonales es un ejemplo de este tipo de influencias, compartiendo herramientas y entrelazándose con la teoría de los sistemas integrables. Una posición privilegiada en esta tesis la ocuparán las matrices de Gram semi infinitas; cada cual asociada a una forma sesquilineal adaptada al tipo de biortogonalidad en cuestión. A estas matrices se les impondrán una serie de condiciones cuyo objeto será el de garantizar la existencia y unicidad de las secuencias biortogonales asociadas a las mismas. El siguiente paso consistirá en buscar simetrías de estas matrices de Gram. Existen dos razones por las que este esfuerzo resulta ventajoso: ¿ En primer lugar, cada simetría encontrada podrá traducirse en propiedades de las secuencias biortogonales, por ejemplo: una estructura Hankel de la matriz es equivalente a gozar de la recurrencia a tres términos de los polinomios ortogonales; la simetría propia de las matrices asociadas a pesos clásicos (Hermite, Laguerre, Jacobi) implica la existencia del operador diferencial lineal de segundo orden de que los polinomios clásicos son solución; etc. ¿ En segundo lugar, las matrices que codifican este tipo de simetrías también sugerirán posibles deformaciones del problema, es decir, permitirán plantear perturbaciones bastante sensatas de la matriz de Gram. Cuando estas deformaciones preserven las condiciones inicialmente impuestas a la matriz de Gram de partida, será posible construir secuencias biortogonales desde el caso deformado y relacionar estas últimas con las originales. En caso de que dichas perturbaciones vengan modeladas por parámetros, se obtendrán secuencias biortogonales con coeficientes teniendo su correspondiente dependencia paramétrica. Resulta que dichos coeficientes son solución de ecuaciones diferenciales propias de la teoría de los sistemas integrables, quedando así patente el entrelazamiento entre las dos disciplinas matemáticas que como decíamos motiva el enfoque de esta tesis. Las técnicas que hemos desarrollado y que dan cuerpo a nuestros resultados permiten construir matrices de Gram adaptadas a cada tipo de biortogonalidad y tratan de poner de manifiesto tanto sus propiedades como sus simetrías, quedando estas prácticamente listas para ser transferidas a las secuencias biortogonales y para posteriormente ser deformadas con el ánimo de construir nuevas secuencias partiendo de unas conocidas. El método se ha aplicado con éxito a los siguientes tipos de biortogonalidad: ¿ En la recta real: biortogonalidad estándar, matricial, multivariable, múltiple y Sobolev. ¿ En la circunferencia unidad: biortogonalidad estándar, matricial y multivariable.