Modelling, mathematical analysis and numerical simulation of problems related to counterparty risk and CVA

Resumen

Esta tesis se centra en el modelado, análisis matemático y resolución numérica de problemas de ecuaciones en derivadas parciales para opciones europeas y americanas con riesgo de contrapartida. Se consideran diferentes valoraciones de ajustes, el más importante de los cuales es el riesgo de contrapartida (CVA). En el modelado, la intensidad de quiebra de cada contraparte juega un papel importante. En el presente trabajo consideramos dos situaciones. En la primera se asumen intensidades de quiebra constantes) lo cual da lugar a modelos unidimensionales. En el segundo escenario se consideran intensidades de quiebra estocásticas, pero solo una contrapaIte puede quebrar, obteniéndose un modelo de EDPs bidimensional. Se obtiene así un problema de valor inicial y de contorno regido por EDPs para las opciones europeas, mientras que la valoración de opciones americanas está gobernada por problemas de complementariedad. Las dos opciones más habituales del valor de mercado en el instante de quiebra (valores sin riesgo y con riesgo) conducen a EDPs lineales y no lineales, respectivamente. El análisis matemático de los modelos no lineales es uno de los principales logros de este trabajo, obteniéndose la existencia y unicidad de solución. Para la solución numérica, se combinan métodos de características, punto fijo y elementos finitos. En el caso de las opciones americanas, el problema discretizado es resuelto mediante un método de lagrangiano aumentado. Se han planteado también formulaciones equivalentes en términos de esperanzas, que han sido resueltas medimlte técnicas adecuadas de Monte CarIo. Finahnente se muestran resultados del comportamiento de los modelos y de los métodos numéricos implementados.