Curvas elípticas de cardinal par sobre cuerpos finitos y volcanes de 2-isogenias. Algoritmos y aplicaciones

Resumen

En el capítulo, Curvas elípticas de cardinal par y 2-isogenias racionales, se estudian las curvas elípticas definidas sobre un cuerpo finito de característica distinta de 2 y 3 cuyo cardinal es par, Para ello, se distribuyen estas curvas en dos familias, E'(Fq) y E(Fq), que corresponden a las curvas elípticas que poseen uno o tres puntos racionales de orden 2. El resultado principal de este capítulo es el cálculo del número de clases de isomorfía de curvas elípticas con cardinal par. El capítulo se concluye con una aplicación de las curvas elípticas de cardinal par a la criptografía. Se presenta un criptosistema basado en la dificultad del cálculo de raíces cuadradas y cúbicas sobre Z/nZ con n producto de dos primos. Dicho criptosistema es una variación del propuesto por Meyes y Müller. En el capítulo, Volcanes de 2-isogenias de curvas elípticas, se exponen los resultados obtenidos acerca de la estructura de los volcanes de 2-isogenias. Utilizando los resultados de Wittmann que relacionan el anillo de endomorfismos de una curva elíptica y la estructura del grupo de puntos de la curva se demuestra la relación existente entre la 2-torsión de una curva elíptica y el nivel en que se encuentra en el volcán. Se calcula también la altura de los volcanes en función de la valoración 2-ádica de la curva y del cuerpo finito donde está definido. En el capítulo, Curvas elípticas en característica 3, se estudian las clases de isomorfía de curvas elípticas definidas sobre cuerpos finitos de característica 3. Para este propósito, se distinguen las curvas supersingulares (aquellas cuya traza sea múltiplo de 3) de las que no lo son. A partir de la resolución de la cúbica en cuerpos finitos de característica 3 y de las condiciones de isomorfía de dos curvas elípticas supersingulares sobre se deduce el número de clases de curvas elípticas supersingulares, se da un representante para cada una de ellas y su card