Pesos de hamming generalizados en códigos álgebro-geométricos

Resumen

Motivados por sus aplicaciones criptográficas, no planteamos en esta memoria el estudio de los pesos de Hamming generalizados para códigos álgebro-geométricos, Hemos partido de una curva arbitraria y a partir de ella hemos construído un código álgebro-geométrico. Utilizando las propiedades de la curva y la cota del orden, hemos calculado y/o estimado ciertos pesos de Hamming para dichos códigos. Teniendo en cuenta que nuestro planteamiento del problema ha sido general, lo hemos aplicado a un tipo particular de códigos que son los códigos Hermitianos. Los resultados anteriores junto con ciertas propiedades adicionales de la curva Hermitiana nos ha permitido calcular la segunda y tercera distancias para dichos códigos. Visto que la cota del orden ha dado un buen resultado, lo hemos intentado aplicar a otro de tipo de códigos, englobados dentro de los códigos álgebro-geométricos, que son los códigos hiperelípticos. En este caso, hemos logrado dar los pesos cuando "m" es mayor o igual que "n" pero no nos ha servido en el otro caso. En dicho caso, y basándonos en una idea de M. De Boer, hemos conseguido dar la jerarquía completa salvo en un caso. A continuación, hemos dado un método de construcción de curvas hiperelípticas para las cuales hemos determinado la jerarquía por completo. Para finalizar con la memoria, hemos enfocado el problema desde otro punto de vista. En concreto, se trata de estimar los pesos de Hamming generalizados vía cardinales de conjuntos de ceros comunes a ciertos polinomios. El resultado ha sido que hemos logrado acotar la jerarquía para un tipo particular de códigos Hermitianos. Las cotas superiores obtenidas se han convertido en igualdad en un caso particular con la ayuda de la cota "footprint".