Problemas multiplicativos relacionados con la división de fraccionesun estudio sobre su enseñanza y aprendizaje

Resum

Los estudiantes tienen dificultades para asociar el enunciado de un problema multiplicativo con la operación que permite resolverlo; esta investigación identifica los tipos de problemas multiplicativos que los estudiantes reconocen como de división de fracciones. Mediante el análisis histórico-epistemológico de textos de enseñanza sobre tres épocas históricas y ocho períodos diferentes, se obtiene un listado de variables de enseñanza (algoritmos, sentidos de uso de fracción y de división de fracciones, representaciones, problemas), así como los valores de dichas variables. Se localizan en los textos consultados algunas reglas particulares y seis algoritmos generales, cuyo predominio ha variado en distintas épocas históricas. Los sentidos de uso se localizan en los textos analizados a través de las formas textuales o expresiones lingüísticas asociadas que usan los autores de los libros y textos de enseñanza para referirse a las fracciones y a la división de fracciones. Los sentidos de uso de fracción están asociados a los constructos de número racional; los sentidos de uso de división, a los modelos. Mediante un análisis de las variaciones producidas en las formas textuales correspondientes, se localizan y caracterizan las discontinuidades en los modelos de división al cambiar del campo numérico de los naturales a los racionales. Las representaciones son diagramas que ilustran los algoritmos de la división de fracciones. En los textos consultados se localizan de dos tipos: parte-todo (continuo y discreto) y recta numérica. Los problemas localizados en los textos de enseñanza constan de tres componentes: la estructura, los contextos y la tipología de los datos. Mediante el análisis estructural (Vergnaud, 1983, 1988) se categorizan los problemas seleccionados del análisis de textos, adaptando la clasificación de Vergnaud al caso de la división de fracciones. A su vez, para cada una de las categorías obtenidas se analizan los valores de las otras dos componentes, contextos y tipología de datos. El cuestionario de investigación incluye un ítem de formas textuales de la división de fracciones, con objeto de analizar la familiaridad de los estudiantes con las localizadas en los textos de enseñanza analizados. Los ítems de problemas se eligen con el criterio de ser representativos de las distintas categorías de problemas y variables localizadas en los textos. Estos problemas seleccionados se analizan respecto de su estructura, contextos, tipología de los datos, sentidos de uso de fracción y de división de fracciones, y representaciones. El cuestionario se aplica a 21 estudiantes de 4º curso de ESO, observándose que: 1)Las formas textuales elegidas con preferencia por los estudiantes corresponden a modelos de división de naturales (inversión del factor multiplicativo, partición, factor perdido y medida). 2)La terna (esquema, método, algoritmo) es característica para cada estudiante y se le denomina enfoque de resolución. En el isomorfismo de medidas el esquema es cuaternario y el método es la regla de tres; en el resto de estructuras, el esquema es ternario y el método es la división directa y el planteamiento y resolución de una ecuación. 3)En el modelo de división medida predomina el método de resolución de división directa; en los modelos de proporción, la regla de tres; y en el modelo de factor perdido, el método de ecuación. 4)Si se tienen en cuenta conjuntamente las respuestas correctas e incorrectas, hay presencia de respuestas aditivas en todos los modelos de división, pero con predominio en el modelo de medida. 5)Hay diferencias entre las formas textuales que eligen los estudiantes en el cuestionario previo y las que usan al explicar la resolución de los problemas, pues en éstas últimas el modelo de partición desaparece, la inversión del factor multiplicativo y la medida apenas tienen incidencia, mientras que el modelo preferido es el de factor perdido, en contradicción con lo observado en el cuestionario previo de formas textuales. 6)Los estudiantes tienen dificultades para identificar la división de fracciones con una proporción y con la división-medida ya que los problemas de medida los plantean de forma aditiva. Conclusiones: 1)Los tipos de problemas que los estudiantes reconocen como aquellos que se pueden resolver con una división de fracciones dependen de la estructura de los problemas, de las formas textuales incluidas en el enunciado y del tipo de datos. 2)Los modelos implícitos de división y el tipo de datos implicados en los problemas median obstruyendo o favoreciendo el reconocimiento de la o las operaciones que es necesario hacer para resolver el problema, si bien algunos de ellos lo hacen de distinta manera a los modelos con naturales. 3)Al cambiar de campo numérico, de los naturales a los racionales, se producen discontinuidades en unos modelos de división, pero no en otros. Esta discontinuidad se produce porque falla alguna de las características del modelo. Implicaciones para la enseñanza: La enseñanza de la división de fracciones no supone un cambio real en los modelos de división de los estudiantes aprendidos para los naturales. Se debe prestar especial atención a las formas textuales, sobre todo en el cambio de campo numérico, ya que éste debe involucrar una nueva concepción de la división de fracciones y de los nuevos problemas que resuelve. Los problemas tienen diferente estructura y corresponden a distintos modelos, por tanto debe organizarse su enseñanza de forma diferenciada.