Contribución al estudio de algunos modelos regidos por ecuaciones de evolución no autónomas y/o estocásticas

Abstract

Como es bien conocido, las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el movimiento de fluidos comunes como el agua, el aire, el aceite, etc. No es objeto de nuestra Memoria el estudio de tales ecuaciones, sujeto de innumerables trabajos matemáticos desde la aparición del primer artículo de Leray en 1993, sino de una modificación de éstas, el modelo conocido con el nombre de ecuaciones a-Navier-Stokes (también llamadas ecuaciones LANS-a, o ecuaciones viscosas de Camassa-Holm), que se ha revelado como un marco adecuado para el estudio de uno de los problemas de más interés en dinámica de fluidos, modelar el movimiento de flujos turbulentos. La primera parte de esta Memoria la dedicaremos a demostrar resultados de existencia, unicidad y regularidad de soluciones de este modelo, y analizar la evolución en el tiempo de las mismas. La segunda parte de la misma es una continuación del trabajo realizado durante el período de investigación previo a la Tesis (Tesina), y estará dedicada al estudio de una clase especial de ecuaciones en derivadas parciales estocásticas no lineales, llamadas retrógradas, que han experimentado un desarrollo espectacular en las últimas tres décadas debido a su relación con la matemática financiera y el control estocástico, y a su capacidad para representar probabilísticamente soluciones de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales parabólicas no lineales.La mayor parte de los contenidos presentado en esta Memoria figuran en las publicaciones [23], [22], [76], [24] y [75]. La Memoria consta de dos partes:La primera (capítulos 1, 2 y 3) se analizan distintas versiones del modelo conocido con el nombre de ecuaciones alfa-Navier-Stokes (también llamadas ecuaciones LANS-alfa o ecuaciones viscosas de Camassa-Holm), modelo que se ha revelado en los últimos años como un marco adecuado para el estudio de uno de los miembros de más interés en Dinámica de fluidos, modelizar el movimiento de fluidos turbulentos.Se trata de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales para el campo de velocidades promediadas y la presión, en cada punto de un fluido viscoso, incompresible y homogéneo en un dominio acotado, con condición de contorno de tipo Dirichlet homogénea, en el que se ha introducido una escala espacial (alfa) por debajo de la cual el movimiento del fluido es filtrado. En concreto, se demuestran resultados de existencia, unicidad y regularidad de soluciones para dichas versiones de este modelo, y analizamos, además, la evolución en el tiempo de las mimas. En la segunda parte (capítulo 4) estudiamos una clase especial de ecuaciones en derivadas parciales estocásticas no lineales, las retrógradas, que han recibido bastante atención en las últimas tres décadas, entre otro motivos, debido a su relación con la matemática financiera y el control estocástico, y a su capacidad para representar probabilísticamente soluciones de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Previo al desarrollo de ambas partes, se incluye una introducción en la que pretendemos justificar la aparición en nuestro modelo de términos no autónomos, estocásticos y/o dependientes del pasado, así como presentar brevemente el contenido de la Memoria.