Significados escolares del concepto de límite finito de una función en un punto

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SIGNIFICADOS ESCOLARES DEL CONCEPTO DE LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Doctorando: JOSÉ ANTONIO FERNÁNDEZ PLAZA Directores: LUIS RICO ROMERO, JUAN FRANCISCO RUIZ HIDALGO Y ENRIQUE CASTRO MARTÍNEZ Programa de Doctorado: CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Área de investigación: DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA 1. INTRODUCCIÓN O MOTIVACIÓN DE LA TESIS La revisión de investigaciones relacionadas con errores y dificultades sobre el concepto de límite finito de una función en un punto (v.g., Blázquez y Ortega, 2000) suscitó mi interés por profundizar en los diversos modos en que los estudiantes entienden las nociones de límite y continuidad tras la instrucción ordinaria recibida y, de este modo, contrastar y actualizar las investigaciones previas. Nuestro propósito estuvo en observar la comunicación de ideas referidas a propiedades relevantes del concepto, en interpretar la relación entre diversas representaciones del concepto, e incluso considerar la aplicación de definiciones ¿alternativas¿ propuestas por los propios estudiantes (Fernández-Plaza, 2011). Las concepciones reportadas en investigaciones previas tales como Cornu (1991), Monaghan(1991) y Oerthman(2009), que denominaremos analíticas, describen las creencias, propiedades, intuiciones, el uso de nociones básicas o descripciones del concepto de límite que manifiestan los escolares en respuesta a diversos estímulos que no responden de momento a un proceso de síntesis mediante una definición. Pretendemos revisar y actualizar esos estudios. Por otro lado, la revisión de investigaciones que tratan de indagar los modos en que los estudiantes entienden definiciones ¿alternativas¿ a la formal o son capaces de reconstruir la misma (Blázquez, Gatica y Ortega, 2009; Swinyard, 2011), nos llevó a adoptar una perspectiva diferente hacia la exploración del grado en que los estudiantes son capaces de sintetizar una definición individual o concepción sintética a partir de las propiedades que emergen de las concepciones analíticas subyacentes. Finalmente, consideramos pertinente revisar si las concepciones sinte¿ticas (como representantes de las ideas ocasionadas por los esti¿mulos previos) provocan o no discrepancias respecto de las nuevas concepciones anali¿ticas que pueden manifestar los estudiantes al abordar otras tareas que involucren otros sistemas de representacio¿n o modos de uso (Garbín y Azcárate, 2002). Este foco problemático se concreta en la caracterización del significado que un grupo de estudiantes de Bachillerato atribuye al concepto de límite finito de una función en un punto con posterioridad a la su instrucción ordinaria correspondiente. 2. DESARROLLO TEÓRICO Y RESULTADOS Analizamos el significado que comunica un estudiante mediante tres componentes principales, referencia, sistemas de representación y sentidos (Rico, 2012; Rico y Fernández-Cano, 2013). Consideramos el término ¿concepcio¿n¿ para referirnos a aquellas ¿parcelas¿ de significado (significados parciales) que emergen de la respuesta de los estudiantes ante la demanda que plantean tareas particulares. Consideramos tres formas ¿ba¿sicas¿ en que los estudiantes pueden manifestar sus concepciones, de manera anali¿tica (cuando identifican, expresan o discuten diversas propiedades del concepto), sinte¿tica (cuando resumen y compendian las caracteri¿sticas para ellos imprescindibles del concepto en una definicio¿n individual) y aplicada (cuando una definicio¿n individual u otras nociones se emplean en otros contextos, es decir, contrastan su definicio¿n). Otra herramienta teórica relevante ha sido el análisis conceptual (Rico, 2001) de términos específicos relacionados con el concepto de límite, ¿aproximar¿, ¿tender¿, ¿converger¿, ¿alcanzar¿, ¿rebasar¿ y ¿límite¿. Este marco interpretativo nos permitió describir los modos de uso de esos términos que muestran los estudiantes. Establecemos también una distinción afinada y precisa entre la noción de concepción y la de definición individual. Las tareas empleadas en el cuestionario implementado a un grupo de estudiantes recogieron información en sus aspectos analítico, sintético y aplicado. Resumimos a continuación los resultados más relevantes: - Las concepciones analíticas detectadas en los escolares se clasifican, según el sentido que manifiestan, en dinámicas/convergencia (emplean términos dinámicos tales como aproximarse), estáticas/valor de la función (consideran que el proceso es finito o que basta evaluar para calcular el valor límite) y de restricción (consideran el límite como un valor no alcanzable y/o no rebasable) - Las concepciones sintéticas se caracterizan en términos de las concepciones analíticas subyacentes, dado que los estudiantes se apoyaron en respuestas previas para sintetizar su definición individual. También detectamos evidencias acerca de la reproducción de la definición de referencia. - Las concepciones aplicadas provocaron la aparición de nuevos matices tales como la interpretación divergente de los límites laterales y la continuidad visual (existencia de límite identificada con el modelo continuo) 3. CONCLUSIONES Concluimos, en primer lugar, que las concepciones aplicadas refuerzan las concepciones analíticas previas de los escolares, que se derivan en mayor o menor grado de la definición individual correspondiente (Coherencia) o establecen rupturas (incoherencia) con la misma, debido a la restricción del campo de experiencias que resume la definición individual. En segundo lugar, las definiciones inconsistentes o carentes de aplicabilidad no se traducen en la falta de respuesta, sino que para responder los estudiantes movilizaron otras concepciones. Concluimos en tercer lugar que los estudiantes se basan en concepciones analíticas previas (respuestas a cuestiones anteriores) para sintetizar su definición individual, por tanto, hacemos patente la interrelación entre las concepciones analíticas, sintéticas y aplicadas de los escolares acerca del concepto de límite finito de una función en un punto. 4. BIBLIOGRAFÍA Blázquez, S., y Ortega, T. (2000). El concepto de límite en la educación secundaria. En R. Cantoral (Ed.), El futuro del cálculo infinitesimal (pp. 331-354). México: Grupo Editorial Iberoamérica.¿ Blázquez, S., Gatica, N., y Ortega, T. (2009). Análisis de diversas conceptualizaciones de límite funcional. Gaceta de la RSME, 12(1), 145-168. Cornu, B. (1991). Limits. In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 153-166). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Fernández-Plaza, J. A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al concepto de límite finito de una función en un punto. Estudio Exploratorio. Trabajo de tercer ciclo. Granada: Universidad de Granada. Garbín, S., y Azcárate, C. (2002). Infinito actual e inconsistencias: Acerca de las incoherencias en los esquemas conceptuales de alumnos de 16-17 años. Enseñanza de las Ciencias, 20(1), 87-113.¿ Oehrtman, M. (2009). Collapsing dimensions, physical limitation, and other student metaphors for limit concepts. Journal for Research in Mathematics Education, 40(4), 396-426. Rico, L. (2001). Ana¿lisis Conceptual e Investigacio¿n en Dida¿ctica de la Matema¿tica. En P. Go¿mez y L. Rico (Eds.), Iniciacio¿n a la investigacio¿n en dida¿ctica de la matema¿tica. Homenaje al profesor Mauricio Castro. Granada: Universidad de Granada. Rico, L. (2012). Aproximación a la investigación en Didáctica de la matemática. Avances de Investigación en Educación Matemática (AIEM), 1, 39-63. Rico, L., y Fernández-Cano, A. (2013). Análisis didáctico y la metodología de investigación. En L. Rico, J. L. Lupiañez y M. Molina (Eds.), Análisis didáctico en Educación Matemática. Metodología de investigación, formación de profesores e innovación curricular (pp. 1-22). Granada: Comares.¿ Swinyard, C. (2011). Reinventing the formal definition of limit: The case of Amy and Mike. The Journal of Mathematical Behavior, 7(4), 765-790.