Cálculo del centro de un grupo de Galois y aplicaciones

Zusammenfassung

Se ha obtenido un algoritmo para calcular el centro del grupo de Galois de un polinomio con coeficientes racionales, no necesariamente irreducible, que emplea esencialmente la factorización del polinomio módulo varios números primos y el método de Newton. Este método ha servido de base para configurar un procedimiento que decide, para un polinomio dado cualquiera, si su grupo de Galois es o no nilpotente, sin necesidad de calcularlo. Cuando el polinomio es ireducible y su grupo es nilpotente, hemos podido determinar completamente el grupo junto con la acción sobre las raíces. El procedimiento se ha mostrado muy eficaz al aplicarlo a polinomios de grado elevado. Basándonos en las técnicas utilizadas en el algoritmo de decisión de la nilpotencia y en las ideas de Galois sobre la resolución de ecuaciones por radicales, hemos desarrollado un método para, dado un polinomio cuyo grupo de Galois tenga centro no trivial, expresar por radicales las raíces de éste en función de las raíces de otro polinomio de grado menor. En particular, permite resolver por radicales cualquier polinomio con grupo de Galois nilpotente.