Clases de conjugación en los p-subgrupos de Sylow de GL (N,Q)

Abstract

Una famosa conjetura de G. Higman de 1960, afirma que el número de clases de conjugación de un p-subgrupo de Sylow de GL(n,q) es un polinomio en q. Numerosos matemáticos se han interesado en la demostración de la misma entre ellos J. Thompson. Sea Gn el p-grupo de las matrices unitriangulares superiores nxn sobre el cuerpo finito Fq de q elementos y r(Gn) el número de clases de conjugación de Gn. Para n13 hemos encontrado los coeficientes ai tales que r(Gn)=¿ ai (q-1)i. El objetivo de esta tesis es desarrollar métodos y herramientas de trabajo que nos permitan encontrar los coeficientes ai del citado polinomio. La tesis consta de seis capítulos y de cuatro apéndices. En el primero desarrollamos los conceptos principales, entre ellos los p-grupos asociados a órdenes admisibles. El segundo trata del diseño de los algoritmos para el cálculo de las matrices canónicas. En el tercero desarrollamos ejemplos para poner de manifiesto el carácter inerte o de ramificación de algunas casillas de las matrices y la implementación de esto en las matrices para su posterior implementación para el cálculo de las matrices canónicas. En el cuarto capítulo se obtiene la expresión polinómica de r(Gn) módulo (q-1)13. El cinco trata de la generalización de estas expresiones módulo mcd((q+1)(q-1)13). Finalmente en el último capítulo se da la relación existente entre r(Gn) y r(Gt) con t<n y tratamos de encontrar las matrices canónicas primitivas de Gn con [n+1/2]+¿ casillas no nulas.