A bayesian approach to fatigue damage assessment in composite materials

Resumen

INTRODUCCIÓN La modelización del comportamiento a fatiga de los materiales compuestos poliméricos reforzados con fibras es un problema complejo con importantes implicaciones en seguridad y coste en un amplio rango de aplicaciones de ingeniería. El fenómeno de la fatiga en materiales compuestos está gobernado por un proceso interno de daño parcialmente conocido que es dirigido por varios mecanismos de fractura a diferentes escalas, dando lugar a la alteración progresiva de propiedades mecánicas como la resistencia y la rigidez, y finalmente al fallo último del material [1]. La complejidad inherente de este proceso de daño implica incertidumbre en la modelización, que no solo incluye la incertidumbre como consecuencia de inputs y parámetros inciertos, sino también la incertidumbre derivada de la idealización del proceso de daño mediante un modelo hipotético de comportamiento a fatiga. Como resultado, no solo un único modelo sino numerosas clases de modelos [2] pueden ser formuladas para idealizar el proceso de daño a partir de diferentes supuestos e hipótesis sobre el mismo. En las últimas décadas se han propuesto diferentes aproximaciones al problema de modelización como consecuencia de la mencionada falta de conocimiento sobre los mecanismos reales de daño que gobiernan el comportamiento a fatiga en materiales compuestos [3]. Al mismo tiempo, la tecnología de monitorización de salud estructural ha experimentado un grado de desarrollo considerable y, en consecuencia, una gran variedad de datos experimentales pueden ser fácilmente adquiridos y procesados para conocer el estado de salud estructural de los materiales compuestos. Sin embargo, comparativamente menos esfuerzo de investigación se ha puesto en la integración de ambas fuentes de información, es decir, modelos de daño y datos de monitorización de salud estructural, para cuantificar la incertidumbre de la modelización en condiciones reales de ensayo y, como subproducto, seleccionar y clasificar los modelos más plausibles de entre un conjunto de modelos candidatos. DESARROLLO TEÓRICO En esta tesis se proponen varias clases de modelos de evolución de daño para simular el comportamiento a fatiga en materiales compuestos usando datos de monitorización. Estas clases pertenecen a familias de modelos físicamente diferentes que representan a su vez hipótesis diferentes acerca de la progresión del daño. En primer lugar se propone un conjunto de modelos de daño basados en la teoría de cadenas de Markov [4] bajo la hipótesis de que el daño por fatiga sigue un proceso estocástico, irreversible y sin memoria. Esto es llevado a cabo mediante una novedosa parametrización de las cadenas de Markov que tiene en cuenta de forma eficiente la no estacionariedad del proceso de acumulación de daño. Alternativamente, se propone un conjunto de modelos basados en mecánica del daño [5] que dan cuenta de la relación entre los mecanismos de daño interno y su manifestación a macro-escala mediante principios físicos. Estos modelos de mecánica del daño son previamente parametrizados mediante un análisis de sensibilidad y posteriormente embebidos estocásticamente para permitir la cuantificación de incertidumbre de los mismos. El comportamiento de estas familias de modelos es investigado mediante un enfoque basado en el problema inverso Bayesiano, que permite estimar simultáneamente la probabilidad a posteriori de un modelo dentro de un conjunto de clases de modelos candidatos, junto con la incertidumbre de los parámetros del modelo. Esto se lleva a cabo mediante el Teorema de Bayes, que tiene por objeto actualizar la probabilidad a priori de los parámetros del modelo, así como estimar la probabilidad de las clases de modelos candidatos. En este marco Bayesiano, la probabilidad es interpretada como una sentencia lógica de varios valores (no Booleana) que expresa el grado de plausibilidad de cada clase de modelos dentro de un conjunto de clases para representar la respuesta del sistema basada en información (incompleta) de la misma. Por tanto, la evaluación del comportamiento de cada clase se considera como una inferencia sobre el conjunto de clases de modelos plausibles dados los datos y no como una búsqueda del "modelo verdadero". Basado en la probabilidad total a posteriori de la clase de modelos, puede obtenerse mediante simulación la predicción robusta de la evolución del daño. Una robustez adicional en la predicción se consigue combinando las predicciones robustas de las distintas clases dentro del conjunto de clases candidatas, donde la contribución de cada clase es multiplicada por su probabilidad a posteriori dada por el Teorema de Bayes. CASOS DE ESTUDIO Las clases de modelos investigados en esta tesis han sido evaluadas mediante varios casos de estudio utilizando datos de monitorización de daño en laminados de fibra de carbono y fibra de vidrio sometidos a cargas de fatiga tipo tensión-tensión. En primer lugar, el comportamiento de las clases de modelos basados en cadenas de Markov es investigado utilizando datos experimentales de laminados de fibra de vidrio y de fibra de carbono. A continuación, se analiza el conjunto de modelos basados en física utilizando datos experimentales para fibra de carbono. Por último, el funcionamiento de ambos conjuntos de modelos es analizado comparativamente utilizando el conjunto de datos para los laminados de fibra de carbono. En esta tesis se ha adoptado una reinterpretación del paradigma Popperiano para el problema inverso [Karl R. Popper, The logic of scientific discovery, Basic Books (1959)], por el cual los datos experimentales no son entendidos para ser usados para validar o falsar una hipótesis/modelo del sistema, sino en cambio, para estimar el grado de plausibilidad de dicha hipótesis/modelo para representar la respuesta del sistema dada por los datos. CONCLUSIONES En esta tesis doctoral se ha propuesto un marco Bayesiano que permite incorporar de forma rigurosa la incertidumbre procedente de la selección de una clase particular de modelos en la inferencia del daño en materiales compuestos. Varias clases de modelos han sido definidas y clasificadas en base a valores de probabilidad que miden el grado de plausibilidad relativo de cada clase en un conjunto de clases para representar el sistema según la información procedente de los datos. Este procedimiento ha sido demostrado mediante varios casos de estudio que usan datos reales de daño en laminados de fibra de carbono y vidrio expuestos a cargas de fatiga tipo tensión-tensión. Los resultados mostraron que las clases más probables entre las posibles candidatas resultaron ser aquellas que, siendo las más simples, proporcionaron un ajuste razonable con los datos. Se observa por tanto el principio del cuchillo de Ockham para los modelos de fatiga investigados en esta tesis, que en este contexto puede enunciarse como los modelos más simples que sean consistentes con los datos son preferibles sobre aquellos innecesariamente más complejos. Esta conclusión no debe interpretarse como una condición impuesta, sino como un resultado natural cuando se trata de modelos informados por datos dentro de un marco Bayesiano, ya que se ha demostrado que la aplicación del Teorema de Bayes automáticamente implica una expresión cuantitativa del principio del cuchillo de Ockham. BIBLIOGRAFIA BÁSICA [1] R.D. Jamison, K. Schulte, K.L. Reifsnider, and W.W. Stinchcomb. Characterization and analysis of damage mechanisms in tension-tension fatigue of graphite/epoxy laminates. Effects of defects in composite materials, ASTM STP, 836:21-55, 1984. [2] James L Beck. Bayesian system identification based on probability logic. Structural .Control and Health Monitoring, 17:825-847, 2010. [3] Joris Degrieck and Wim Van Paepegem. Fatigue damage modeling of fibre-reinforced composite materials: Review. Applied Mechanics Reviews, 54(4):279, 2001. [4] Manuel Chiachio, Juan Chiachio, Guillermo Rus, and James L. Beck. Predicting fatigue damage in composites: A Bayesian framework. Structural Safety, 51:57- 68, 2014. [5] J. Chiachío, M. Chiachío, A. Saxena, S. Sankararaman, G. Rus, and K. Goebel. Bayesian model class selection and parameter estimation for fatigue damage progression in composites. International Journal of Fatigue, 2014. DOI: 10.1016/j.ijfatigue.2014.08.003