Nuevos índices de eficiencia en la teoría clásica de la demanda

Resumen

En economía numerosos problemas y postulados económicos descansan (se apoyan) en el principio de la optimización matemática: las empresas generalmente tratan de minimizar costes o maximizar beneficios; los consumidores de maximizar su utilidad, etc. En la teoría clásica de la demanda, que postula que las elecciones realizadas por un consumidor racional se derivan de un problema de la maximización de la utilidad sujeto a una restricción presupuestaria, el modelo de elección óptima impone algunas restricciones importantes sobre la conducta observada. Estas restricciones se formalizan mediante ciertas condiciones algebraicas, conocidas como condiciones de preferencia revelada derivadas de la función de demanda (WARP, SARP, GARP, HARP, etc) o condiciones basadas en el cálculo diferencial como, por ejemplo, las condiciones de integrabilidad. Así pues, en la literatura económica existen dos aproximaciones tradicionales que permiten analizar la racionalidad de un individuo: la aproximación econométrica, en adelante aproximación paramétrica, y la aproximación no paramétrica, basada en la teoría de la preferencia revelada. En su versión reducida esta teoría se limita a un conjunto finito de datos observables de precios y cantidades demandadas en un contexto competitivo, intentando descubrir todas las implicaciones empíricas de la hipótesis de consistencia de un individuo. La aproximación paramétrica requiere sumergir los datos en alguna forma funcional específica (o flexible) de la utilidad, derivar el conjunto asociado de funciones de demanda, proceder (con la ayuda del conjunto de las elecciones de consumo) a la estimación de los parámetros desconocidos y, finalmente, comprobar si éstos satisfacen las condiciones teóricas del modelo de optimización. La aproximación econométrica a la teoría económica de la demanda puede realizarse desde dos enfoques diferentes. El primero se caracteriza por imponer restricciones implícitas o explícitas sobre la función de utilidad o de demanda que representa las preferencias de un individuo. En el segundo, se utilizan las formas funcionales flexibles (aproximaciones a las funciones de utilidad -directa o indirecta- o a la función de gasto) que proceden de aproximaciones de Taylor o de Laurent a la función de utilidad, en lugar de formas algebraicas específicas. En principio, los únicos requisitos exigidos son que, en primer lugar, posean un número suficiente de parámetros como para que pueda considerarse una aproximación adecuada a la verdadera función de utilidad o de gasto y, en segundo lugar, que generen funciones de demanda potencialmente integrables dado que las condiciones de integrabilidad (la matriz de los términos de sustitución de Slutsky sea simétrica y semidefinida negativa) caracterizan las restricciones teóricas derivadas del proceso de maximización de la utilidad y, en consecuencia, la consistencia de la función de demanda con la teoría clásica de la demanda. El principal problema que surge al emplear esta aproximación en el análisis empírico de la demanda es que las conclusiones dependerán de las especificaciones paramétricas utilizadas y, por lo tanto, esta aproximación no es un procedimiento muy eficaz para determinar si un consumidor presenta (o ha presentado) un comportamiento optimizador. Si como resultado del contraste, las elecciones de consumo no verifican la hipótesis de la maximización de la utilidad, esta violación puede haber estado ocasionada por el hecho de que las elecciones no procedan realmente de una conducta optimizadora o ser consecuencia de que las restricciones paramétricas empleadas en el modelo no han sido las más apropiadas. Lo anterior sugiere la utilización de una aproximación alternativa que no presente estas limitaciones puesto que no hay necesidad alguna de sumergir el modelo de optimización en un contexto paramétrico. Además, contrastar las restricciones paramétricas (derivadas del particular modelo de optimización analizado) usando los tests de hipótesis clásicos supone un sentido demasiado restrictivo del significado de la significatividad, como mostraremos en esta memoria. La aproximación no paramétrica, basada en la teoría de la preferencia revelada, permite contrastar modelos de optimización razonablemente complejos sin tener que sumergir el modelo de optimización en un contexto paramétrico. Esta aproximación (surgida a raíz de los trabajos seminales de Samuelson (1938), Houthakker (1950), Afriat (1967) y Varian (1982) sobre la preferencia revelada) postula la consistencia de los datos observados con el modelo de optimización analizado a partir de unos contrastes no paramétricos (basados en ciertas condiciones algebraicas de la preferencia revelada) que caracterizan la consistencia de un conjunto finito de datos con algún índice de utilidad. La hipótesis se rechaza si no se satisface al menos una de las restricciones del conjunto de restricciones no paramétricas que la caracterizan; en caso contrario, la hipótesis se acepta. A modo de ejemplo, supongamos que estamos interesados en contrastar la hipótesis de si una empresa está maximizando los beneficios en un entorno competitivo. La teoría económica establece que si la empresa está maximizando el beneficio en lo que se refiere a un conjunto de datos de tamaño n, la elección de la producción neta observada correspondiente a un determinado vector de precios debe generar un nivel de beneficios al menos tan grande como el que generaría cualquier otra producción neta que pudiera elegir la empresa. A esta condición se la denomina Axioma Débil de la Maximización del Beneficio (WAPM). En la literatura económica son numerosos los trabajos que muestran que el comportamiento de un consumidor (resp. de una empresa) no es maximizador. En estos trabajos se ha comprobado la inconsistencia de los datos observados con las diferentes condiciones algebraicas de la preferencia revelada derivadas del correspondiente modelo de optimización. Al hablar de inconsistencia nos referimos a que el comportamiento observado del consumidor viola alguno de los axiomas de la preferencia revelada y, por consiguiente, sus elecciones de consumo no proceden del correspondiente comportamiento optimizador. Si es improbable que las empresas maximicen beneficios o minimicen los costes de manera exacta, es aún más improbable que los consumidores exactamente maximicen la utilidad. En consecuencia, resultará de especial relevancia no solamente analizar si un consumidor (resp. una empresa) está maximizando exactamente su utilidad (resp. sus beneficios), sino saber en qué medida lo hace; esto es, inferir -a partir de los datos observados- si el modelo de maximización de la utilidad (resp. el modelo maximización del beneficio) describe razonablemente bien su conducta. Si el agente no es maximizador en muy pocas ocasiones, o por una cantidad razonablemente pequeña, tal vez estemos dispuestos a aceptar que el consumidor (resp. la empresa) casi esté maximizando su utilidad (resp. sus beneficios). Por otra parte, como para la mayoría de los propósitos un comportamiento próximo a uno optimizador puede considerarse como un comportamiento optimizador, resulta natural preguntarse si el modelo neoclásico del equilibrio del consumidor está en contradicción con los datos: ¿los errores son demasiado pequeños para ser ignorados?, ¿hasta qué punto se parecen las elecciones observadas a las elecciones maximizadoras? Para responder a estas cuestiones, además de contar con una definición razonable del significado de parecido, es necesario disponer de diferentes medidas de la bondad del ajuste del particular modelo de optimización. La aproximación paramétrica a la teoría de la demanda se ha venido utilizando tradicionalmente para estudiar la eficiencia de las decisiones de consumo de un individuo; esto es, para analizar la bondad del ajuste del modelo de la maximización de la utilidad. En esta aproximación se supone que las preferencias de un consumidor han sido generadas a partir de una función de utilidad específica que depende de un parámetro (o lista de parámetros) desconocido. A partir de las elecciones efectuadas es posible estimar el parámetro (o lista de parámetros) que describe la función de demanda que mejor describe la conducta de elección observada y comparar el nivel de utilidad en las elecciones óptimas -calculada mediante la función de utilidad estimada- con la utilidad correspondiente a las elecciones reales. El problema que subyace con este procedimiento es la escasa relación existente entre las pruebas de hipótesis estadísticas y la significatividad económica de las posibles inconsistencias presentes en los datos. Supongamos, por ejemplo, que estamos analizando la bondad del ajuste del comportamiento de un consumidor cuyas preferencias se supone que están representadas por una función Cobb-Douglas. Si contrastamos esta hipótesis y resulta rechazada, ¿qué es lo que estaríamos rechazando?, ¿qué significado económico tiene que los parámetros estimados difieran considerablemente de lo establecido en las restricciones teóricas; esto es, que no sumen uno? En este caso diríamos que los datos violan las restricciones teóricas puesto que la optimización exacta implica que los parámetros estimados deben sumar uno. Además, podríamos afirmar que dicha violación es estadísticamente significativa; pero, ello no implicaría necesariamente que esta violación fuese también significativa desde el punto de vista económico puesto que, como muestra Varian (1990), una diferencia significativa (en términos de distancia euclídea) entre los parámetros estimados y los correspondientes valores teóricos no implica necesariamente una clara violación de la hipótesis de la maximización de la utilidad. El valor del test estadístico no suele dar ninguna pista en cuanto a si el agente económico en cuestión es casi o totalmente consistente con la hipótesis de la optimización de la optimización, o no, etc. Además, lo importante en economía no es saber si una violación del modelo de optimización del consumidor es estadísticamente significativa sino más bien si es económicamente significativa. Varian (1990) argumenta las limitaciones de utilizar la aproximación paramétrica para el análisis de la eficiencia en el consumo y sugiere utilizar la aproximación no paramétrica para cuantificar el grado de eficiencia de las decisiones de consumo de un individuo, así como para colegir si el consumidor (resp. una empresa) ha presentado un comportamiento casi optimizador o próximo a uno optimizador. La aproximación no paramétrica es el marco idóneo para analizar la eficiencia en el consumo puesto que permite analizar el grado de eficiencia de las decisiones de consumo de un individuo y ofrece una interpretación económica del concepto de eficiencia en términos del dinero derrochado por un consumidor en sus decisiones de consumo inconsistentes con la hipótesis de la maximización de la utilidad. Afriat (1972, 1973) fue el primer autor en sugerir utilizar el enfoque de la teoría de la preferencia revelada para analizar la eficiencia económica y/o tecnológica de los modelos de optimización. Este autor propuso utilizar un índice global (como medida global de la bondad del ajuste del modelo optimizador de un consumidor) para determinar si un individuo ha presentado o presenta un comportamiento casi optimizador en sus decisiones de consumo. A raíz del trabajo seminal de Afriat han sido numerosos los intentos que, en los últimos años, han tratado de resolver este problema: Varian (1985) propone encontrar el conjunto de datos más próximo a los datos observados en alguna norma apropiada; Houtmann y Maks (1985) desarrollan un método para determinar todos los subconjuntos de elecciones de consumo consistentes con el Axioma Fuerte de la Preferencia Revelada (SARP); Swofford y Withney (1987) y McMillan y Amoako-Tuffour (1988) proporcionan un test basado en la comparación del número de elecciones de consumo que violan el Axioma Generalizado de la Preferencia Revelada (GARP) con el número máximo posible; Famulari (1996) proporciona un índice que compara el número de violaciones GARP con el número posible de violaciones GARP; Gross y Kaiser (1996) diseñan dos algoritmos que permiten generar un subconjunto de elecciones de consumo consistentes con el Axioma Débil de la Preferencia Revelada (WARP); y, finalmente, Varian (1990, 1993) generaliza la aproximación de Afriat al permitir un nivel de eficiencia distinto en cada observación. Sin embargo, ninguna de estas aproximaciones a la eficiencia en el consumo han sido capaces de cuantificar el porcentaje mínimo de dinero que precisa gastar un consumidor en cada situación presupuestaria para obtener el mismo bienestar en comparación con la cantidad de dinero que utiliza realmente y, en consecuencia, no resultan muy eficaces para determinar (a partir de los datos observados) si el comportamiento de un individuo está próximo a uno optimizador. Objetivos Una vez establecido el marco de referencia, los objetivos de esta tesis doctoral son múltiples. En primer lugar, realizo una breve revisión de la versión (reducida) de la teoría de la preferencia revelada y muestro cómo encontrar una función de utilidad que representa la conducta observada de un consumidor racional es equivalente a resolver un problema de distancias mínimas en un grafo dirigido. En segundo lugar, y una vez caracterizadas las condiciones algebraicas de la preferencia revelada que caracterizan la consistencia de los datos con algún índice de utilidad, proporciono nuevas medidas de la bondad del ajuste que permiten hallar el grado de coherencia de las decisiones de consumo de un individuo (no necesariamente homo economicus). Además, abordo la cuestión de la operatividad de la preferencia revelada, aspecto que, a pesar de su importancia, no ha sido lo suficientemente tratado. Finalmente, dada la importancia de la Economía Experimental en el estudio empírico del comportamiento de un consumidor y presento los resultados de dos experimentos económicos. Finalmente, concluyo la memoria con la presentación de un glosario donde se definen algunos de los principales conceptos de diferentes disciplinas (psicología económica, marketing, matemáticas, etc.) relacionados directamente con esta investigación. Sinopsis A continuación se describe brevemente el contenido de cada uno de los capítulos que integran esta memoria. Capítulo 1 El objetivo de este capítulo es diverso. En primer lugar, realizo una breve revisión de la versión reducida de la Teoría de la Preferencia Revelada y caracterizo los diferentes test de la preferencia revelada que permiten contrastar la racionalidad de un individuo en un contexto competitivo y analizo las relaciones existentes entre los diferentes axiomas de la preferencia revelada. En segundo lugar, muestro cómo el problema de encontrar una función de utilidad no saciada, continua, cóncava y monótona que racionaliza la conducta observada de un consumidor maximizador de la utilidad equivale a resolver un problema de distancias mínimas en un grafo dirigido. En tercer lugar, presento dos nuevas demostraciones del Teorema de Afriat. La primera prueba es una demostración constructiva del Teorema de Afriat más eficiente (desde el punto de vista computacional) que los procedimientos constructivos empleados por Diewert (1973), Varian (1982) y Scarf, Todd y Fostel (2004), entre otros. En la segunda, utilizo una versión del Teorema de la Alternativa para demostrar la existencia de una relación de preferencia que racionaliza un conjunto finito de datos de demanda consistentes con GARP. Finalmente, muestro la estrecha relación existente entre la versión reducida de la teoría de la preferencia revelada y la teoría de grafos dirigidos, fundamental a la hora de analizar la consistencia de los datos con algún índice de utilidad. Capítulo 2 En este capítulo analizo el problema de la bondad del ajuste de los modelos de optimización desde una perspectiva no paramétrica. En la sección 2.1 realizo una revisión histórica de los principales resultados y trabajos que abordan la eficiencia en el consumo desde una perspectiva no paramétrica. En la sección 2.2 respondo a una pregunta planteada por Gross (1991) en The American Economic Review al caracterizar a los subconjuntos de observaciones consistentes con GARP y proporciono un procedimiento exacto que permite hallar subconjuntos maximales de cardinal máximo consistente con GARP. También proporciono diferentes métodos aproximativos eficientes que permiten calcular un subconjunto maximal (no necesariamente de cardinal máximo) de observaciones de demanda consistentes con GARP. En la sección 2.3 extiendo la aproximación no paramétrica a la eficiencia en el consumo de Afriat (1972, 1973) y Varian (1987, 1990) en varias direcciones. En primer lugar, construyo un procedimiento algorítmico para obtener el valor exacto del índice de Afriat en un tiempo polinomial. Este procedimiento no presenta las desventajas del método original de Afriat ni del método propuesto por Houtman y Maks. También presento un procedimiento matricial para obtener el índice de Varian a través de operaciones elementales (sumas, multiplicaciones booleanas, etc.) en el espacio de las matrices (booleanas y reales). En segundo lugar, construyo dos nuevos índices de eficiencia que son mejores en el sentido de Pareto que el índice de Varian. Finalizo esta sección construyendo un nuevo índice que mejora simultáneamente en el sentido de Pareto los índices de Afriat y Varian. En la sección 2.4 generalizo tanto la aproximación no-paramétrica planteada por Afriat, y posteriormente desarrollada por Varian, en varias direcciones. En primer lugar, demuestro que para cada serie finita de datos de demanda se puede construir -a partir de la familia formada por todos los subconjuntos inconsistentes (resp. fuertemente inconsistentes) con GARP- una familia finita de conjuntos de niveles de eficiencia. A continuación, creo una familia de índices de eficiencia que generalizan la aproximación de eficiencia de Afriat, demuestro cómo el índice de Afriat es un miembro de esta familia y caracterizo a aquellos miembros que son mejores en el sentido de Pareto que el índice de Afriat. De manera análoga, creo una familia de índices de eficiencia que generalizan la aproximación de eficiencia de Varian y demuestro cómo todos los miembros de esta familia describen mejor en el sentido de Pareto el comportamiento de la demanda que el índice de Varian. Además, construyo una tercera familia de índices que determina de manera exacta el porcentaje mínimo de dinero que se le permite derrochar a un consumidor para que sus decisiones de consumo sean consistentes con la teoría clásica de la demanda y colegir, por tanto, si un consumidor ha presentado un comportamiento próximo, o no, a uno optimizador. Esta familia de índices de eficiencia ofrece la respuesta a los problemas planteados por Varian (1990) en The Journal of Econometrics y por Gross (1995) en The Review of Economics and Statistics. Finalmente, en la sección 2.5 se presentan dos estadísticos que nos permitirán realizar un contraste de hipótesis no-paramétrico, basado en una chi-cuadrado, para comprobar estadísticamente si las inconsistencias (con la hipótesis de la maximización de la utilidad) presentes en los datos son de carácter estructural o, por el contrario, están ocasionadas por la existencia de pequeños errores de medida o de naturaleza estocástica. Además, realizo un experimento de Monte Carlo para probar cómo los estadísticos anteriores existentes en la literatura rechazan, en algunas ocasiones, GARP cuando esta violación ha sido producida por la existencia de un pequeño error de medida o de naturaleza estocástica. Capítulo 3 En este capítulo abordo la cuestión de la operatividad de la teoría de la preferencia revelada debido a que la estructura de las preferencias del consumidor es un fenómeno complejo que merece una investigación mayor de la que hasta ahora se ha realizado. Este capítulo ha sido diseñado con objeto de proporcionar una aportación modesta al desarrollo de métodos que sean útiles para describir correctamente la estructura de la revelada y mostrar esta teoría como un instrumento operativo del proceso de elección de un individuo. En la sección 3.1 presento una revisión histórica de los principales test no paramétricos de la optimización y de los numerosos estudios empíricos, tanto de economía aplicada como de economía experimental, que han utilizado la teoría de la preferencia revelada para analizar el comportamiento de un consumidor. En la sección 3.2 realizo un análisis sobre la operatividad de la teoría de la preferencia revelada, extendiendo los análisis efectuados por Koo (1972) y Wakker (1997) en varias direcciones. En esta sección utilizo el isomorfismo existente entre las relaciones binarias y las matrices booleanas (cuando el conjunto de opciones es finito) para tratar computacionalmente la estructura preferencial de un consumidor y proporciono dos nuevos índices de eficiencia. En la sección 3.3 presento el marco teórico del análisis de la sensibilidad de los diferentes tests no paramétricos de la preferencia revelada utilizados en el estudio empírico del comportamiento de un consumidor y proporciono una generalización natural de los diferentes modelos clásicos de comportamiento aleatorio de un consumidor que nos permitirán evaluar de manera más precisa la sensibilidad de los diferentes tests no paramétricos en cualquier estudio no paramétrico de la demanda. Finalmente, realizo un experimento de Monte Carlo para comparar la potencia de los diferentes tests no-paramétricos. En la sección 3.4 presento una revisión histórica sobre la economía experimental en el ámbito de la teoría clásica de la demanda. Finalmente, en la sección 3.5 presento el diseño experimental y los resultados de dos experimentos económicos de la teoría neoclásica de la demanda -que determinan la existencia de una correlación positiva entre el nivel de formación económica de un individuo y el grado de coherencia de sus decisiones de consumo- y establecezco diferentes líneas futuras de trabajo.