Proximidad, cúmulos e ideales completos sobre singularidades racionales de superficie

Resumen

EL OBJETIVO DE LA MEMORIA ES EL ESTUDIO DE LOS SISTEMAS LINEALES DE CURVAS SOBRE UNA SINGULARIDAD RACIONAL DE SUPERFICIE, EN PARTICULAR, INTRODUCIMOS EL CONCEPTO DE CUMULO (O CONJUNTO DE PUNTOS BASE CON ORDENES ASIGNADOS) CON ORIGEN EN UN PUNTO CON SINGULARIDAD RACIONAL Y DAMOS CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES SOBRE UN CUMULO DADO K PARA OBTENER CURVAS (BIEN DIVISORES DE CARTIER O BIEN DIVISORES DE WEIL) QUE PASEN POR K CON ORDENES EFECTIVOS IGUALES A LOS VIRTUALES. DE ESTA FORMA GENERALIZAMOS LA TEORIA GEOMETRICA DE ENRIQUES AL CASO DE SINGULARIDADES RACIONALES. COMO CONSECUENCIA, REVISAMOS DESDE ESTE PUNTO DE VISTA LA SEMIFACTORIZACION EN EL SEMIGRUPO DE IDEALES COMPLETOS M-PRIMARIOS DEL ANILLO LOCAL DE UNA SINGULARIDAD RACIONAL DE SUPERFICIE. TAMBIEN ESTABLECEMOS UN DICCIONARIO ENTRE CUMULOS POR UNA PARTE Y DIVISORES E IDEALES COMPLETOS POR OTRA, Y OBTENEMOS ALGUNAS APLICACIONES DE ESTE LENGUAJE. POR EJEMPLO, DAMOS UNA FORMULA QUE CALCULA LA COLONGITUD DE UN IDEAL COMPLETO M-PRIMARIO Y LA UTILIZAMOS PARA CALCULAR EL NUMERO DE ELEMENTOS DE UN SISTEMA MINIMAL DE GENERADORES DE UN IDEAL COMPLETO M-PRIMARIO, OBSERVANDO EN PARTICULAR QUE DICHO NUMERO DE GENERADORES DEPENDE SOLO DE LOS ORDENES EN EL ORIGEN DEL CUMULO. MAS AUN, EL LENGUAJE DE CUMULOS APLICADO EN ESTE CONTEXTO, NOS PERMITE DAR UN ALGORITMO PARA ENCONTRAR EXPLICITAMENTE UN SISTEMA MINIMAL DE GENERADORES DE UN IDEAL COMPLETO M-PRIMARIO. POR OTRO LADO, PODEMOS CLASIFICAR SINGULARIDADES RACIONALES DE SUPERFICIE DE VARIAS FORMAS EQUIVALENTES, TODAS ELLAS EQUIVALENTES A DAR SUS GRAFOS DUALES PESADOS. ESTO PERMITIRA ESTUDIAR LOS GERMENES DE CURVAS REDUCIDAS INMERSOS EN UNA SINGULARIDAD RACIONAL DE SUPERFICIE DE FORMA COMPLETAMENTE SIMILAR AL ESTUDIO DE GERMENES DE CURVAS PLANAS.