Perspectivas aritméticas para la conjetura de casas-alvero

Resumen

La tesis tiene como objetivo el estudio sistemático de la Conjetura de Casas-Alvero, formulada en 2001 y cuya dificultad ha sido puesta de relieve en número 80 de la Newsletter EMS de 2011. Esta Conjetura afirma que los polinomios de una variable con coeficientes complejos que comparten con cada una de sus sucesivas derivadas una raíz son exactamente las potencias de polinomios lineales. Determinar si es cierta o no para polinomios de grado arbitrario es un conocido problema matemático que permanece abierto en la actualidad. La tesis trata de manera unificada los resultados parciales existentes en la literatura sobre el problema, y aporta nuevos métodos, resultados originales y comprensión de la Conjetura, demostrando para ella que: 1) Es equivalente a un problema puramente aritmético. En concreto, en la tesis se introduce un discriminante para cada valor del grado n, es decir, un número entero bien definido para el que se demuestra que su no anulación es equivalente a la validez de la Conjetura para polinomios de grado n. 2) Es equivalente a otras conjeturas sobre preservación de hipótesis. En concreto, en la tesis se demuestra que la validez de la Conjetura es equivalente a la validez de otra conjetura, según la cual, la propiedad de compartir con cada derivada una raíz para un polinomio se propaga a sus potencias (o a alguna precisa de ellas), y también es equivalente a la validez de la que afirma que dicha propiedad se preserva por desplazamientos precisos de los coeficientes del polinomio. 3) Existe, para ella, una formulación bien definida módulo números primos, que reduce su verificación a la búsqueda de primos adecuados. En concreto, en la tesis se consideran siete esquemas proyectivos pesados diferentes para estudiar la conjetura en grado n ---de los que solo uno aparecía previamente en la literatura---, y para cada uno de los cuales la validez de la Conjetura equivale a la no existencia de puntos geométricos en característica cero. Para cada número primo p y cada uno de estos esquemas, la inexistencia de puntos geométricos en característica p define un problema de Casas-Alvero en dicha característica. En la tesis se demuestra que los siete problemas resultantes son equivalentes entre sí para cada valor de p, y que la Conjetura es equivalente a la existencia de primos p (llamados eficaces para n) para los que estos problemas carecen de puntos geométricos en característica p. Se prueba también el Principio de expansión, según el cual, si p es eficaz para n entonces la Conjetura de Casas-Alvero es cierta para todos los grados de la forma n.q donde q es cualquier potencia del primo p. 4) Es cierta para multitud de enteros n con a lo más tres divisores primos, pero tratar cualquier entero con cuatro o más divisores está aún lejos del alcance. En concreto, en la tesis se describen de manera unificada los primos eficaces para n=1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Los resultados para n=3, 4, 5 y 6 fueron resultados originales de la tesis en su momento. Para n=7, se han obtenido por otros autores mediante computación avanzada pero no factible para grados mayores o iguales que 8. Se requeriría conocer dichos resultados como mínimo para el grado 30 si se quiere tener opción a probar la Conjetura en algún grado cuya factorización incluya cuatro factores primos diferentes. 5) La computación permite experimentar, pero sus métodos son inoperantes para la verificación de la Conjetura. En concreto, se demuestra en la tesis que ya para el caso de polinomios con tan solo tres monomios pero valor de n arbitrario los algoritmos computacionales disponibles necesitan haber probado la Conjetura antes de poder superar su primera etapa. Tras varias semanas de supercomputación otros autores han llegado a verificar la Conjetura para n=12, el primero de los grados para los que se desconoce una demostración formal, resultando fuera de todo alcance esos métodos para el segundo, n=20.