El paso de la geometría sintética a la geometría analítica

Résumé

Partiendo del supuesto de que es posible diseñar situaciones que sean el hilo conductor entre la geometría sintética y la analítica, se plantea como objetivo fundamental de investigación diseñar situaciones que permitan la evolución de los conocimientos de la geometría sintética, con los que los estudiantes podrían venir de su formación básica, hacia la geometría analítica, en particular, hacia el tratamiento de las rectas y las cónicas. Para el desarrollo de la investigación se consideran elementos de la investigación basada en el diseño y de la investigación-acción. Luego de un estudio sobre la evolución histórica de la geometría se hallaron evidencias de que la noción de lugar geométrico ha estado presente en el desarrollo inicial de la geometría analítica. Una de ellas corresponde al trabajo de Descartes; él resolvió problemas sobre lugar geométrico que tradicionalmente se abordaban en contextos sintéticos, pero empleando el álgebra como herramienta alternativa a las que brindan las construcciones exactas. A partir de lo hallado, se diseñó una familia de problemas para cuya solución se requiere inicialmente de las técnicas de construcciones exactas; luego éstas deben evolucionar para dar lugar a técnicas algebraicas. De esa manera, la introducción de un sistema de coordenadas cartesiano estará plenamente justificada. Para comprender la complejidad cognitiva de las tareas propuestas se recurrió a la noción de registro de representación semiótico y se definieron unidades elementales de información. Con esos elementos teóricos se contrastaron los procedimientos de solución desde los marcos geométrico y algebraico y se identificaron algunos conflictos que podían presentarse cuando los estudiantes resolvieran las tareas propuestas. La secuencia didáctica propuesta inicialmente se fue modificando a partir de los resultados obtenidos, completándose cinco ciclos. Como resultado del trabajo realizado se cuenta con una secuencia didáctica que justifica la enseñanza de técnicas algebraicas empleadas en geometría analítica, a partir de las limitaciones que presentan las técnicas de construcción con regla y compás.