Applications of regular variation and proximate orders to ultraholomorphic classes, asymptotic expansions and multisummability

Résumé

El principal objetivo de esta memoria es dar respuesta a varias preguntas abiertas relativas a las clases ultraholomorfas de tipo Carleman-Roumieu de funciones, definidas en sectores de la superficie de Riemann del logaritmo mediante restricciones para el crecimiento de sus derivadas dadas en términos de una sucesión de números reales positivos. La principal motivación para este estudio es el análisis de las condiciones que permiten extender a estas clases el proceso de (multi)sumabilidad de series de potencias formales desarrollado por J. Écalle, J.-P. Ramis y W. Balser, principalmente. Se ha resuelto totalmente el problema de la inyectividad de la aplicación de Borel asintótica, se ha profundizado significativamente en el conocimiento acerca de su sobreyectividad, y se han caracterizado las sucesiones para cuyas clases ultraholomorfas asociadas está disponible una extensión satisfactoria de la herramienta de k-sumabilidad siguiendo la técnica de sumabilidad de momentos. La solución depende fuertemente de las teorías clásicas de variación regular y de órdenes aproximados, que están estrechamente relacionadas entre sí. Se presenta también un método de multisumabilidad, incluyendo los correspondientes teoremas tauberianos y la reconstrucción de la suma mediante operadores de aceleración. Por último, se proporciona un resultado de propagación a un sector del desarrollo asintótico en una sola dirección para funciones asintóticamente acotadas.