On Reed-Muller and related quaternary codes

Résumé

El año 1972, la nave espacial Mariner 9 transmitió imágenes de Marte utilizando el código Reed-Muller de orden 1 RM(1,5). Estos códigos son de especial interés por la facilidad del proceso de construcción, codificación y decodificación. A partir del año 1994, se abrió una nueva puerta al a investigaicón de la teoría de códigos. Se demostró que algunos códigos no lineales muy importantes (Preaparta, Kerdock, etc) tenían estructura de códigos Z-4-lineales. A partir de ese momento, también se empezó a estudiar la relación de los códigos Reed-Muller con los códigos cuaternarios. A parecieron un par de familias de códigos cuaternarios relacionados con los Reed-Muller, los códigos (QRM(r,m) y los códigos ZRM(r,m). En esta Tesis estudiamos con profundidad estas dos familias. Respecto a los códigos QRM(r,m), describiremos una generalización, construiremos una clase donde, para cada valor r y m, todo código C que pertenezca ala clase cumpla que C módulo 2 es, exactamente, el código RM(R,m). Generalizaremos las propiedades básicas de los códigos QRM(r,m) a los códigos de la clase. Se demuestra que todos los códigos Preparata-like i Kerdock-like son la imagen vía la aplicación de Gray de códigos en la clase. También se calcula el rango i la dimensión del núcleo de los códigos de esta clase. Finalmente, podemos encontrar diferentes construcciones de estos códigos y la creación de cadenas anidadas y propiedades de estas cadenas relacionadas con la dualidad y la distancia mínima de los códigos que la forman. En la literatura, hay dos definiciones diferentes de códigos ZRM(r,m). Haremos servir esta notación ZRM(r,m), para los códigos definidos por Hammons, Kumar, Caldermakr, Sloane y Sole el año 1994 i ZRM*(r,m) para los códigos definidos posteriormente por Zhe-Xian Wan el año 1997. Hemos demostrado que estos códigos coinciden si y sólo si r=0,1,2,m,m+1 que son, exactamente, los valores para los cuales