Una nota sobre las álgebras de Banach regulares no-arquimedianas.

Resumen

Es bien conocido que el conjunto M de los ideales maximales de un álgebra de Banach compleja X es un espacio compacto y Hausdorff para la topología de Gelfand, y que X es isométricamente isomorfa al álgebra C(M,C) de las funciones continuas sobre M si y sólo si X es una B*-álgebra, es decir un álgebra de Banach con involución verificando ||x*x|| = ||x||2 (Gelfand-Naimark). En el caso no-arquimediano, X admite tal representación si y sólo si el subespacio vectorial engendrado por {e Î X | e2 = e, ||e|| = 1} es denso en X (Van der Put). Vamos a demostrar ahora que si el conjunto E de los idempotentes de X está acotado y el subespacio vectorial que engendra es denso en X, entonces X es un álgebra de Gelfand regular. Previamente se hacen algunas consideraciones sobre las diferencias entre la teoría clásica y la no-arquimediana, y se demuestra que la condición necesaria y suficiente para que la topología de Zariski sobre el conjunto de los ideales maximales de un anillo semisimple sea de Hausdorff es que cada ideal primo está contenido en un único ideal maximal.