Subgrupos de Sylow de las curvas elípticas definidas sobre cuerpos finitos

Resumen

Se construye un algoritmo que determina los l-subgrupos de Sylow de orden l primo, del grupo de puntos E(F) de una curva elíptica definida sobre un cuerpo finito F, El algoritmo admite como entradas una curva elíptica y el primo l. Y devuelve uno o dos puntos generadores del subgrupo de Sylow y sus órdenes respectivos. El algoritmo se construye asociando a los subgrupos de Sylow unos árboles con raíz en el punto del infinito y cuyos nodos son los puntos del l-subgrupo de Sylow. Las aristas se definen mediante pares de puntos (Q, P), tales que [l]P=Q. Cada paso del algoritmo consiste en un "descenso" por la arista (Q,P), tal que, conocido el punto Q, se trata de determinar el P: hemos llamado a esa determinación l-división de Q. El algoritmo se inicia con los puntos del subgrupo de l-torsión de la curva y finaliza cuando se alcanza la altura máxima del árbol. Para los casos l=2, 3, cada descenso por una arista se ha resuelto mediante el cálculo de caracteres y raíces cuadráticos y cúbicos respectivamente. En el caso general, es decir, cuando l>3, esos pasos suponen el cálculo en F de las raíces de dos polinomios de grado l. El estudio y determinación efectiva de tales polinomios se ha realizado generalizando unas expresiones de Vélu (1971) para la abscisa del punto isógeno del P, por la isogenia cuyo núcleo es el grupo cíclico generado por un punto racional de orden l, que desde el inicio del algoritmo, ya sabemos que existe. También se han determinado los tipos de factorización del polinomio de l-división de las curvas elípticas definidas sobre cuerpos finitos, cuando se tiene un punto racional de orden l. E igualmente, los tipos de factorización de otro polinomio asociado con la l-división, de grado el cuadrado de l, que llamamos de l-isogenia. Se han estudiado los costos de los diferentes algoritmos, viéndose que son polinómicos en el orden del cuerpo de definición de la curva elíptica.