Continuación y bifurcaciones de órbitas periódicas en sistemas hamiltonianos con simetría

Abstract

En esta tesis se aportan resultado sobre la contaminación (o persistencia) de órbitas periódicas en sistemas de ecuaciones diferenciales que poseen integrales primeras (o cantidades conservadas), como es el caso de los sistemas hamiltonianos. Se obtienen resultados en la línea marcada por los trabajos de Sepulchre & MacKay (1997) que caracterizan geométricamente condiciones que aseguran la persistencia y permiten aplicar técnicas de contaminación numérica. Los resultados expuestos en esta tesis han sido parcialmente publicados en la revista Physica D (2003). Además técnicas de continuación de órbitas periódicas se abordan también las dos de otros tipos de objetos dinámicos (equilibrios, órbitas periódicas relativas, órbitas periódicas simétricas respecto de una reversibilidad, ...). La tesis está estructurada en tres capítulos. En el primer capítulo se desarrollan los resultados teóricos sobre continuación entrelazados con la exposición de los conceptos de la teoría general de sistemas dinámicos usados. En los dos capítulos posteriores se ilustran las ideas del primer problema con aplicaciones a diferentes tipos de sistemas procedentes de la mecánica. En el capítulo 2 se estudian sistemas integrables: un modelo sencillo polinómico, un modelo de pozos cuánticos en la aproximación del campo medio y el péndulo de Furuta. En el capitulo 3 se muestran familias de órbitas periódicas calculadas tomando como punto de arranque la solución recientemente encontrada por Chenciner & Montgomery (2000) para el problema de los tres cuerpos.