Geometría computacional en superficies de órbitas

Resumen

En los casi treinta años de historia de la Geometría Computacional, sólo recientemente se han comenzado a estudiar problemas en superficies distintas del plano. Estudio que es necesario desde el momento en que surgen problemas para cuya modelización se requiere el uso de otros espacios. En esta memoria se aborda la extensión de las estructuras clásicas de la Geometría Computacional a las superficies de órbitas euclídeas (Euclidean 2-orbifolds) o caleidoscopios. Para ello es necesario en primer lugar distinguir cuándo un conjunto sobre una superficie está lo suficientemente agrupado como para presentar un comportamiento plano. Se dice que un conjunto está en posición euclídea cuando sobre él pueden aplicarse algoritmos planos para construir estructuras típicas de la Geometría Computacional. En esta memoria se presenta una definición del término para las superficies de ´orbitas euclídeas que generaliza la existente para el cilindro, el cono y el toro, junto con algoritmos que permiten su determinación. Se estudia también la construcción de la envolvente métricamente convexa sobre estas superficies, comprobándose que, si el conjunto está en posición euclídea, la forma de su envolvente es la que tendría de estar sobre el plano. En caso contrario la envolvente convexa es demasiado grande, perdiendo gran parte de su utilidad. En el caso de que un conjunto no esté en posición euclídea, se presentan métodos para la búsqueda de sus subconjuntos con mayor cardinal que sí cumplan la propiedad, llamados subconjuntos máximos para la posición euclídea o SMPE. También se establece la relación entre la conexión del grafo de triangulaciones de un polígono o una nube de puntos en una superficie cerrada y conexa y la métrica de la superficie, probándose que siempre puede construirse una métrica para la que aparecen grafos de triangulaciones no conexos. Para su métrica habitual se estudia la conexión del grafo en las superficies localmente euclídeas (cilindro, toro, cilindro retorcido y botella de Klein).