Algorithms for l-sections on genus two curves over finite fields and applications

Resumen

We study \ell-section algorithms for Jacobian of genus two over finite fields. We provide trisection (division by \ell=3) algorithms for Jacobians of genus 2 curves over finite fields \F_q of odd and even characteristic. In odd characteristic we obtain a symbolic trisection polynomial whose roots correspond (bijectively) to the set of trisections of the given divisor. We also construct a polynomial whose roots allow us to calculate the 3-torsion divisors. We show the relation between the rank of the 3-torsion subgroup and the factorization of this 3-torsion polynomial, and describe the factorization of the trisection polynomials in terms of the galois structure of the 3- torsion subgroup. We generalize these ideas and we determine the field of definition of an \ell-section with \ell \in {3, 5, 7}. In characteristic two for non-supersingular hyperelliptic curves we characterize the 3-torsion divisors and provide a polynomial whose roots correspond to the set of trisections of the given divisor. We also present a generalization of the known algorithms for the computation of the 2-Sylow subgroup to the case of the \ell-Sylow subgroup in general and we present explicit algorithms for the computation of the 3-Sylow subgroup. Finally we show some examples where we can obtain the central coefficients of the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism reduced modulo 3 using the generators obtained with the 3-Sylow algorithm. En esta tesis se estudian algoritmos de \ell-división para Jacobianas de curvas de género 2. Se presentan algoritmos de trisección (división por \ell=3) para Jacobianas de curvas de género 2 definidas sobre cuerpos finitos \F_q de característica par o impar indistintamente. En característica impar se obtiene explícitamente un polinomio de trisección, cuyas raíces se corresponden biyectivamente con el conjunto de trisecciones de un divisor cualquiera de la Jacobiana. Asimismo se proporciona otro polinomio a partir de cuyas raíces se calcula el conjunto de los divisores de orden 3. Se muestra la relación entre el rango del subgrupo de 3-torsión y la factorización del polinomio de la 3- torsión, y se describe la factorización del polinomio de trisección en términos de las órbitas galoisianas de la 3- torsión. Se generalizan estas ideas para otros valores de \ell y se determina el cuerpo de definición de una \ell-sección para \ell=3,5,7. Para curvas no-supersingulares en característica par también se da una caracterización de la 3-torsión y se proporciona un polinomio de trisección para un divisor cualquiera. Se da una generalización, para \ell arbitraria, de los algoritmos conocidos para el cómputo explícito del subgrupo de 2-Sylow, y se detalla explícitamente el algoritmo para el cómputo del subgrupo de 3-Sylow. Finalmente, se dan ejemplos de cómo obtener los valores de la reducción módulo 3 de los coeficientes centrales del polinomio característico del endomorfismo de Frobenius mediante los generadores proporcionados por el algoritmo de cálculo del 3-Sylow. En aquesta tesi s'estudien algoritmes de \ell-divisió per a grups de punts de Jacobianes de corbes de gènere 2. Es presenten algoritmes de trisecció (divisió per \ell=3) per a Jacobianes de corbes de gènere 2 definides sobre cossos finits \F_q de característica parell o senar indistintament. En característica parell s'obté explícitament un polinomi de trisecció, les arrels del qual estan en bijecció amb el conjunt de triseccions d'un divisor de la Jacobiana qualsevol. De manera semblant, es proporciona un altre polinomi amb les arrels del qual es calcula el conjunt dels divisors d'ordre 3. Es mostra la relació entre el rang del subgrup de 3-torsió i la factorització del polinomi de la 3-torsió, i es descriu la factorització del polinomi de trisecció en termes de les òrbites galoisianes de la 3-torsió. Es generalitzen aquestes idees a altres valors de \ell i es determina el cos de definició d'una \ell-secció per a \ell=3,5,7. Per a corbes nosupersingulars en característica 2 també es proporciona una caracterització de la 3-torsió i un polinomi de trisecció per a un divisor qualsevol. Es dóna una generalització, per a \ell arbitrària, dels algoritmes coneguts per al càlcul explícit del subgrup de 2-Sylow, i es detalla explícitament en el cas del 3-Sylow. Finalment es mostren exemples de com obtenir els valors de la reducció mòdul 3 dels coeficients centrals del polinomi característic de l'endomorfisme de Frobenius fent servir els generadors proporcionats per l'algoritme de càlcul del 3-Sylow.