Sistemas IntegrablesPropiedades y Estructuras Subyacentes

Abstract

Resumen Sistemas Integrables: Propiedades y Estructuras Subyacentes Juan Manuel Conde Martín Los sistemas integrables constituyen sin lugar a dudas una clase de ecuaciones en derivadas parciales (PDEs) especial. En realidad existen muchas definiciones de sistema integrable, a pesar de que al fin y al cabo, estas definiciones consistan en realidad en una lista de propiedades comunes de este tipo de sistemas (quizás con alguna excepción). Entre estas propiedades podemos citar: solubilidad mediante la Transformada de Scattering Inversa y el problema lineal subyacente asociado (par de Lax) [AS,AC]; transformaciones de Darboux, transformaciones de Bäcklund y las correspondientes fórmulas de superposición no lineales [MS,RS]; la propiedad de Painlevé, tanto para la propia PDE como para sus reducciones a ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) [AC]; un número infinito de leyes de conservación [AS]; estructura multihamiltoniana, operadores de recurrencia y jerarquías asociadas [F]; y la forma bilineal de Hirota [H]. Entre las reducciones a ODEs de sistemas integrables se encuentran las llamadas ecuaciones de Painlevé. Estas peculiares ODEs de segundo orden, junto con sus análogos de orden superior, poseen también propiedades en común que las distinguen de otro tipo de ODEs (de nuevo quizás con alguna excepción). Estas propiedades incluyen entre otras: solubilidad mediante la Transformada de Isomonodromía Inversa y problemas lineales asociados; forma bilineal de Hirota; transformaciones de auto-Bäcklund; y estructura hamiltoniana. En esta Tesis Doctoral hacemos uso de algunas de estas propiedades. Por ejemplo, utilizamos el hecho de que las PDEs integrables son miembros de jerarquías de ecuaciones. La ecuación de Korteweg-de Vries modificada, una PDE de tercer orden, es el primer miembro no trivial de una sucesión de ecuaciones de orden impar, generadas de manera sucesiva utilizando el operador de recurrencia. En consecuencia, si extendemos la reducción de similaridad de tipo scaling a toda la jerarquía, obtenemos una jerarquía de ODEs (cuyos miembros son de orden par), el primer miembro de la cual es la segunda ecuación de Painlevé. Utilizamos también el concepto de transformación de Bäcklund, es decir, aplicaciones entre las soluciones de ecuaciones diferenciales. En el caso de aplicaciones entre soluciones de la misma ecuación se denominan transformaciones de auto-Bäcklund. Hipótesis La presente Tesis Doctoral parte de las siguientes tres hipótesis: (1) Existe un tipo de transformación de auto-Bäcklund (aBT), que denominaríamos de tipo ODE (de tipo ``ordinary differential equation''), que puede construirse para una gran variedad de ecuaciones diferenciales, ordinarias o en derivadas parciales, integrables o no. La construcción de este tipo de aBT depende exclusivamente de la estructura subyacente de la ecuación diferencial. (2) Para el caso de ecuaciones en derivadas parciales, este tipo de transformación nos proporciona un procedimiento adicional de generar soluciones exactas. (3) Es posible utilizar la jerarquía de Boussinesq para definir nuevas jerarquías de ODEs basadas en la cuarta ecuación de Painlevé (PIV). Para estas nuevas jerarquías se pueden obtener aBTs. Más aún, es posible extender un método conocido para efectuar una reducción de orden de la correspondiente reducción de similaridad de la jerarquía de Boussinesq. La metodología utilizada puede resumirse brevemente en los siguientes tres puntos. (1) En [P] se puede encontrar una descripción de un método desarrollado con el fin de encontrar aBTs para jerarquías de Painlevé (aBTs de tipo ODE). En esta Tesis abordamos la aplicación de dicho método a ciertas clases de ODEs y PDEs, en un intento de conseguir su extensión desde ODEs integrables a ODEs no integrables, y a PDEs integrables y no integrables. (2) Una vez obtenida una aBT, surge de manera natural la posibilidad de utilizarla para generar soluciones. En el caso de ODEs este es un procedimiento conocido. En el caso de PDEs constituirá un nuevo método de generación de soluciones. (3) La relación entre jerarquías de PDEs integrables y jerarquías de Painlevé es bien conocida [A, K, GP99, GP00]. Dado que la ecuación de Boussinesq tiene a PIV como reducción, es natural esperar poder utilizar los métodos desarrollados en [GJP] para definir jerarquías de ODEs basadas en PIV. Es asimismo lógico esperar poder utilizar los métodos desarrollados en [GPP] para efectuar una reducción de orden de la reducción de similaridad de la jerarquía de Boussinesq. Dichos métodos han de ser sin embargo necesariamente extendidos y modificados. De la misma manera, el procedimiento para encontrar aBTs para las jerarquías basadas en PIV será (una extensión de) el desarrollado en [P]. Podríamos decir que las conclusiones del trabajo que constituye esta Tesis Doctoral pueden resumirse en mostrar la veracidad de las tres hipótesis descritas anteriormente. (1) Encontramos aBTs de tipo ODE para clases de ODEs y PDEs bastante amplias, que incluirán tanto ejemplares integrables como no integrables. En el caso de PDEs integrables, encontramos este tipo de aBT para las modificaciones integradas de extensiones no isoespectrales de los primeros flujos inversos de las ecuaciones de Korteweg-de Vries (KdV) y Broer-Kaup. Estos son los primeros ejemplos de aBTs de tipo ODE para PDEs conocidos en la literatura. Estos resultados nos permiten llegar a conclusiones generales sobre la relación que hay entre la existencia de este tipo de aBT y la integrabilidad de ODEs y PDEs. (2) En el caso de la ecuación relacionada con la jerarquía de KdV mostramos que la aBT de tipo ODE encontrada nos proporciona un método alternativo de generar soluciones exactas. Consideramos también otras formas de abordar la derivación de soluciones exactas para esta PDE, como son el uso de simetrías de Lie y correspondientes reducciones de similaridad y el de aBTs de tipo PDE y la fórmula de superposición no lineal asociada. (3) Definimos nuevas jerarquías de ODEs basadas en PIV, y conseguimos, haciendo uso de una extensión del método de [GPP], una reducción de orden para la reducción de similaridad de la jerarquía de Boussinesq. Otro de los resultados es el uso de una generalización del método desarrollado en [P] para derivar aBTs para las nuevas jerarquías de Painlevé encontradas. Los resultados de esta Tesis Doctoral han dado lugar a las siguientes publicaciones: 1. J. M. Conde, P. R. Gordoa y A. Pickering, Auto-Bäcklund transformations and integrability of ordinary and partial differential equations, J. Math. Phys. 51 033512 (2010). 2. J. M. Conde, P. R. Gordoa y A. Pickering, Exact solutions of a novel integrable partial differential equation, Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 17 2309-2318 (2012). 3. J. M. Conde, P. R. Gordoa y A. Pickering, A new kind of Bäcklund transformation for partial differential equations, Rep. Math. Phys. 70 149-161 (2012). 4. J. M. Conde, P. R. Gordoa y A. Pickering, Bäcklund transformations for new fourth Painlevé hierarchies, enviado para publicación. Referencias [AS] M J Ablowitz y H Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform (SIAM, Philadelphia, 1981). [AC] M J Ablowitz y P A Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering (Cambridge University Press, Cambridge, 1991). [MS] V B Matveev y M A Salle, Darboux transformations and solitons (Springer-Verlag, Berlin, 1991). [RS] C Rogers y W F Shadwick, Bäcklund transformations and their applications (Academic Press, New York-London, 1982). [F] A P Fordy (editor), Soliton theory: a survey of results (Manchester University Press, Manchester, 1990). [H] R Hirota, The direct method in soliton theory (Cambridge University Press, Cambridge, 2004). [P] A Pickering, Bäcklund transformations for a discrete second Painlevé hierarchy, J. Math. Phys. 50 013507 (2009). [A] H Airault, Rational solutions of Painlevé equations, Stud. Appl. Math. 61 31-53 (1979). [K] N A Kudryashov, The first and second Painlevé equations of higher order and some relations between them, Phys. Lett. A 224 353-360 (1997). [GP99] P R Gordoa y A Pickering, Nonisospectral scattering problems: a key to integrable hierarchies, J. Math. Phys. 40 5749-5786 (1999). [GP00] P R Gordoa y A Pickering, On a new non-isospectral variant of the Boussinesq hierarchy, J. Phys. A 33 557-567 (2000). [GJP] P R Gordoa, N Joshi y A Pickering, Bäcklund transformations for fourth Painlevé hierarchies, J. Differential Equations 217 124-153 (2005). [GPP] P R Gordoa, A Pickering y J Prada, Integration via modification: a method of reduction of order for systems of ordinary differential equations, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42 9-26 (2006).