Contribuciones a la cardinalidad de curvas elípticas y a los volcanes de isogenias

Resumen

Avui en dia, un dels problemes matemàtics més utilitzats a l'hora de dissenyar protocols criptogràfics és el problema del logaritme discret sobre el grup de punts d'una corba el.líptica definida sobre un cos finit (ECDLP -- Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem). No obstant, no totes les corbes el.líptiques existents són vàlides per a aquest problema. Pel que se sap fins ara, la validesa per al ECDLP d'una corba el.líptica $ E $ definida sobre un cos finit $ \F_q $ depèn del seu cardinal sobre $ \F_q $. Donat que el càlcul del cardinal de $ E $ és un problema computacionalment costós, sembla raonable pensar que si $ E $ és vàlida, puguem obtenir a partir d'ella altres corbes el.líptiques que també ho siguin, és a dir, que també tinguin el seu mateix cardinal sobre $ \F_q $. Per dur a terme aquesta tasca només hem de calcular corbes el.líptiques $ d $--isògenes a $ E $ sobre $ \F_q $, és a dir, hem de calcular $ d $--isogènies $ \F_q $--racionals. Sigui $ \ell $ un nombre primer tal que $ \ell $ no divideix a $ q $. El conjunt de totes les classes d'isomorfia sobre $ \F_q $ de corbes el.líptiques ordinàries amb un determinat cardinal sobre $ \F_q $ pot ser representat mitjançant un graf dirigit on els vèrtexs són les classes d'isomorfia i on els arcs representen $ \ell $--isogènies $ \F_q $--racionals entre corbes el.líptiques dels vèrtexs. Cada component connexa d'aquest digraf és un volcà de $ \ell $--isogènies o $ \ell $--volcà sobre $ \F_q $. Els vèrtexs d'un $ \ell $--volcà es distribueixen per nivells. El nombre total de nivells menys un és la seva altura. Calcular l'altura d'un $ \ell $--volcà pot millorar l'eficiència de l'algoritme SEA, sent aquest algoritme el millor conegut fins ara per al càlcul del cardinal d'una corba el.líptica. Altres aplicacions dels volcans de $ \ell $--isogènies les trobem en el càlcul dels polinomis de classes de Hilbert o dels polinomis modulars. En totes elles cal recórrer els vèrtexs de $ \ell $--volcans. En aquesta tesi, per una banda, donem nous métodes per recórrer els vèrtexs dels volcans de $ \ell $--isogènies. Per l'altra, coneguda la valoració $ \ell $--àdica del cardinal de $ E $ sobre $ \F_q $, estudiem la valoració $ \ell $--àdica del cardinal de $ E $ sobre una extensió de grau $ k $ de $ \F_q $. Coneguda l'estructura del subgrup de $ \ell $--Sylow de $ E $ sobre $ \F_q $, també estudiem la del subgrup de $ \ell $--Sylow de $ E $ sobre $ \F_{q^k} $.